Hallo zur heutigen Vorlesung im Fach Mathematik für Physikstudierende C.

Das ist ein neuer Format.

Ich mache jetzt die Videos und ich mache sie auch an der Tafel.

Inhaltlich geht es aber genau so weiter wie bisher.

Wir knüpfen an das, was wir in der letzten Stunde gemacht haben, nämlich den geometrischen

Tangentialraum eingeführt.

Wir werden uns heute die zweite Definition anschauen, nämlich die Algebraische, die

wir auch aus der geometrischen Anschauung heraus motivieren wollen, zumindest mit den

Kurven.

Das bringt uns auch gleich zur Wiederholung des Themas vom letzten Mal, nämlich der geometrische

Tangentialraum.

Schauen wir uns kurz einmal an.

Wiederholung.

Geometrische Tangentialraum.

Die Zutaten, die wir dafür brauchen, sind einmal sein M, mal jetzt bei Fabi,

eine glatte Manifaltigkeit

und die zweite Zutat, die wir jetzt in dem Fall haben, ist Gamma minus 1, 1 nach M.

Gamma soll eine glatte Kurve sein.

Wir haben eine Manifaltigkeit und wir haben eine glatte Kurve, die von einem Intervall

auf die Manifaltigkeit abbildet.

Dann machen wir vielleicht mal ein Bild, was das Ganze bedeutet.

Hier mal M als meine Manifaltigkeit und wir interessieren uns ja immer noch für den Tangentialraum

an dem Punkt P.

Und das wollten wir uns dadurch definieren, dass wir Kurven durch diesen Punkt P betrachten.

Wie machen wir das?

Wir fordern eben, dass Gamma von 0 eben gerade gleich P ist.

Das heißt, Kurven, die wir hier betrachten, sollen irgendwie hier durchlaufen.

Die laufen auf der Manifaltigkeit, auf dem blauen, aber die laufen hier immer durch P

durch.

Jetzt können diese Kurven sehr unterschiedlich sein.

Die Kurven können da erst mal durchlaufen, wie sie wollen.

Aber ein Punkt, der ganz interessant ist, ist das Verhalten oder die Änderung, die sie

am Punkt P beschreiben.

Heißt, wir könnten uns dafür interessieren, auf der Manifaltigkeit geht es natürlich

nicht, aber intuitiv könnten wir hier auf der Manifaltigkeit sowas wie eine Tangente

anlegen und sagen, dass irgendwie alle Kurven, die an dieser Tangente den selben Wert haben

oder sich am Punkt P an dieser Tangente anschmieden, irgendwie gleich sind.

Das heißt, wenn ich jetzt die hier rausgreife, dann wäre vielleicht eine zweite, die hier

auch so in den Punkt P reingeht, soll irgendwie ähnlich sein.

Oder soll sowas wie equivalent heißen.

Und wie haben wir das gemacht?

Ich habe schon gesagt, auf der Manifaltigkeit können wir keine Tangente definieren, weil

wir ihn nicht ableiten können.

Und wie helfen wir uns da wieder?

Naja, das machen wir eben genau mit der Karte wieder.

Heißt, wir mappen das Ganze, oder sagen wir mal, ich habe es unten drin, sei zusätzlich

u Phi Karte für unsere Manifaltigkeit m, wobei

u eine Teilmenge von m offen ist und natürlich soll der Punkt P auch in u liegen.

Okay, heißt, was wir dann gesehen haben, ist, dass die Funktion Phi verknüpft mit Gamma

ist dann eine Funktion von minus eins eins nach m hoch n, weil, schauen wir uns das so